Boucles non bornées : raisonner avec while

Tester avant chaque passage

while signifie « tant que ». Python évalue la condition avant d’entrer dans le corps, puis la réévalue après chaque exécution complète du bloc. Le corps peut donc ne jamais s’exécuter. Avec reserve = 3 et while reserve >= 5, aucune action n’est entreprise. Cette règle distingue une boucle while d’une répétition qui imposerait un premier essai. Lors d’une trace, notez la valeur de la condition au départ, les modifications du corps et le test suivant. La dernière vérification fausse explique la sortie même si elle ne produit aucun passage supplémentaire.

Il y a un test réussi par passage, puis un dernier test faux si la boucle se termine normalement. Une exécution comportant quatre passages évalue donc cinq fois la condition. Cette distinction est utile lorsque l’on demande un nombre d’opérations : il faut préciser si l’on compte les transformations ou les évaluations du test.

Faire évoluer ce que l’on teste

Supposons qu’une réserve commence à 2 unités et double jusqu’à atteindre au moins 20. La condition est reserve < 20 et la mise à jour reserve = reserve * 2. Les réserves successives sont 2, 4, 8, 16 puis 32. On sort à 32, pas à 20 : franchir un seuil ne signifie pas l’atteindre exactement. Une condition reserve != 20 ne fonctionnerait pas ici, puisque les doublements ne produisent jamais 20. Le choix du comparateur doit donc correspondre au mécanisme qui fait évoluer les valeurs.

Une variable peut évoluer sans rapprocher l’exécution de la sortie. Ajouter deux à un entier qui doit devenir pair ne change pas sa parité. Pour analyser une boucle, cherchez donc aussi une propriété conservée par la mise à jour. Elle peut montrer que la sortie est inaccessible.

Distinguer l’état et le nombre d’étapes

Un compteur d’étapes répond à une question différente de la valeur transformée. On initialise etapes à zéro avant la boucle, puis on l’incrémente une fois par transformation. Pour la réserve précédente, quatre doublements sont nécessaires. Si l’on initialise le compteur à un sans justification, le résultat sera décalé. Une bonne explication associe chaque variable à une phrase : reserve est la quantité disponible maintenant ; etapes est le nombre de doublements déjà effectués. Ces phrases permettent de vérifier l’initialisation aussi bien que le corps.

reserve = 2
etapes = 0
while reserve < 20:
    reserve = reserve * 2
    etapes = etapes + 1
print(reserve, etapes)

Le compteur augmente après la transformation qu’il mesure. Si l’on veut mémoriser les valeurs avant chaque transformation, il faut le préciser dans la trace. Une colonne « avant », une colonne « après » et une colonne « transformations effectuées » suppriment les ambiguïtés entre premier état et première étape.

Justifier que la boucle finira

Observer quelques sorties ne prouve pas que toutes les entrées valides terminent. Pour une quantité entière restante qui diminue de un à chaque passage et reste positive tant que le corps s’exécute, on dispose d’un argument simple : elle ne peut pas diminuer indéfiniment parmi les entiers positifs. C’est l’idée d’un variant. Pour d’autres évolutions, on adapte le raisonnement : doubler une quantité strictement positive finit par dépasser tout seuil fixe. Commencer à zéro invaliderait cet argument, puisque doubler zéro laisse zéro. Les préconditions font donc partie de la preuve.

Un variant doit être entier, rester positif ou nul dans les états considérés et diminuer strictement à chaque tour. Dire seulement « la valeur diminue » est insuffisant : des nombres positifs divisés par deux peuvent rester strictement positifs indéfiniment dans un modèle mathématique exact.

Calculer un quotient par retraits successifs

Pour répartir vingt-trois jetons par groupes de cinq, on initialise reste = 23 et groupes = 0. Tant que reste >= 5, on enlève cinq au reste et on augmente le nombre de groupes. Les restes deviennent dix-huit, treize, huit puis trois ; quatre groupes ont été constitués. À chaque étape, 23 == 5 * groupes + reste. Cette égalité est conservée, car ajouter un groupe retire exactement cinq au reste.

À la sortie, le reste est positif ou nul et strictement inférieur à cinq. On obtient donc quotient quatre, reste trois. La quantité restante constitue un variant naturel : elle diminue strictement sans devenir négative. Le cas de zéro jeton termine immédiatement avec zéro groupe.

Rechercher un premier événement dans un tableau

On cherche la première valeur négative de [4, 0, -3, 8]. Avec un indice initialisé à zéro, la poursuite doit vérifier à la fois que l’indice est valide et que la valeur courante n’est pas négative : indice < len(valeurs) and valeurs[indice] >= 0. L’ordre protège l’accès au tableau. À chaque tour, l’indice augmente. On sort ici à l’indice deux.

Si aucune valeur négative n’existe, l’indice atteint la longueur du tableau. On interprète alors la sortie comme une absence, sans tenter de lire cet indice. Un tableau vide suit immédiatement ce même cas. La condition de sortie peut donc recouvrir deux causes différentes, qu’un test après la boucle permet de distinguer.

De la compréhension à l’autonomie

À vous de résoudre

Cherchez d’abord par vous-même. Vérifiez les résultats demandés, utilisez les indices si nécessaire, puis comparez votre méthode à la correction.

Les erreurs qui méritent un détour

Modifier une autre variable que celle testée

Vérifiez que le corps peut réellement changer la valeur de vérité de la condition.

Tester une égalité que la suite saute

Une progression par pas peut dépasser une cible sans la rencontrer : choisissez alors une inégalité.

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Ce chapitre s’appuie sur le programme officiel de Première (PDF, nouvel onglet). Les explications et exercices sont proposés pour l’apprentissage.