Logique booléenne et tables de vérité

Des valeurs de vérité aux opérations

Une proposition possède ici deux valeurs possibles, vrai ou faux, que l’on représente aussi par 1 et 0. not inverse une proposition. and vaut vrai seulement lorsque ses deux opérandes sont vrais. or vaut vrai lorsqu’au moins l’un est vrai ; il accepte donc aussi le cas où les deux le sont. Le ou exclusif, souvent nommé xor, vaut vrai lorsqu’exactement l’un des deux opérandes est vrai. Ces définitions doivent être distinguées des nuances du mot « ou » dans la conversation courante, qui dépendent parfois du contexte.

Pour une règle à deux entrées, la différence entre le ou inclusif et le ou exclusif apparaît seulement lorsque les deux entrées sont vraies. Un exemple où une seule entrée est vraie ne permet donc pas de choisir entre les deux opérateurs.

Construire toutes les lignes sans en oublier

Avec deux propositions A et B, il existe quatre couples de valeurs : 00, 01, 10 et 11. Avec trois propositions, il existe huit combinaisons. Une table de vérité énumère chacune une seule fois, puis calcule les sous-expressions avant le résultat final. Pour (A or B) and not C, on peut ajouter une colonne A or B et une colonne not C. Cette décomposition évite d’essayer de tout calculer mentalement. Elle fournit aussi une explication de chaque résultat plutôt qu’une liste de réponses difficiles à contrôler.

Une organisation systématique fait varier le dernier bit à chaque ligne, l’avant-dernier toutes les deux lignes, et ainsi de suite. Avec trois variables, on obtient huit lignes distinctes. Cette méthode assure la couverture de tous les cas avant le calcul des expressions.

Comparer deux règles logiques

Deux expressions sont équivalentes si elles ont la même valeur pour toutes les combinaisons de leurs variables. Une seule ligne différente suffit à réfuter l’équivalence. Par exemple not (A and B) n’est pas la même chose que (not A) and (not B) : avec A vrai et B faux, la première est vraie et la seconde fausse. La transformation correcte est (not A) or (not B). On peut comprendre cette loi en français : ne pas avoir les deux conditions impose qu’au moins l’une manque, pas nécessairement les deux.

L’autre loi de De Morgan transforme not (A or B) en (not A) and (not B). N’avoir aucun des deux critères exige leur absence simultanée. Les parenthèses indiquent exactement ce qui est nié et évitent de ne retourner qu’une partie de l’expression.

L’ordre peut éviter une opération invalide

Python évalue and et or de gauche à droite avec arrêt anticipé lorsque le résultat est déjà déterminé. Dans x != 0 and 10 / x > 2, si x vaut zéro, la première partie est fausse et la division n’est pas exécutée. Inverser les deux parties provoquerait une division par zéro. Le raisonnement logique sur les booléens doit donc être complété par un raisonnement sur l’exécution lorsque des expressions ont des effets ou peuvent échouer. Nous utilisons ici des opérandes booléens ; Python possède aussi des règles de vérité pour d’autres objets.

Une table de vérité suppose que les entrées sont déjà des booléens disponibles. Un programme qui calcule ces entrées doit aussi respecter leurs préconditions. Une division, un accès à un tableau ou un appel avec un effet demande donc une analyse d’exécution en plus du calcul logique.

Construire une autorisation avec trois critères

Un laboratoire autorise l’accès si le badge est valide et si la personne est accompagnée ou habilitée. On nomme ces propositions V, A et H. L’expression est V and (A or H). Lorsque V est faux, les quatre combinaisons de A et H sont refusées. Lorsque V est vrai, seule l’absence simultanée d’accompagnement et d’habilitation entraîne un refus.

La table possède donc trois lignes autorisées sur huit. Le parenthésage montre que le badge reste obligatoire dans les deux possibilités. L’expression (V and A) or H serait différente : une habilitation suffirait à contourner l’absence de badge.

De la règle d’autorisation à la règle de refus

Nier V and (A or H) donne not V or not (A or H), puis not V or ((not A) and (not H)). Le refus survient si le badge manque, ou si la personne n’est ni accompagnée ni habilitée. Cette reformulation peut être plus naturelle pour produire un message d’erreur.

Pour vérifier une transformation, comparez les sorties sur toutes les lignes. Pour la réfuter, une seule ligne suffit : avec badge faux, accompagnement faux et habilitation vraie, la règle correcte refuse l’accès, tandis que la version où H est isolé par un ou l’autorise. Un contre-exemple doit annoncer toutes les entrées nécessaires.

De la compréhension à l’autonomie

À vous de résoudre

Cherchez d’abord par vous-même. Vérifiez les résultats demandés, utilisez les indices si nécessaire, puis comparez votre méthode à la correction.

Les erreurs qui méritent un détour

Confondre or et xor

or accepte le cas où les deux propositions sont vraies ; xor le refuse.

Nier chaque proposition sans changer l’opérateur

Vérifiez les lois de négation avec une table avant de transformer une expression.

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