Un cap pour ce chapitre
Ce que vous saurez faire
- Lire un circuit combinatoire simple
- Déduire les sorties d’un demi-additionneur et d’un additionneur complet
- Relier une retenue à la colonne suivante
Les bases utiles pour commencer
Une porte calcule une fonction booléenne
Une porte logique reçoit un ou plusieurs bits et produit une sortie selon une table de vérité. Une porte AND produit 1 lorsque ses deux entrées valent 1 ; OR lorsqu’au moins une vaut 1 ; NOT inverse l’entrée ; XOR produit 1 lorsque les deux entrées diffèrent. Un circuit combinatoire relie des portes sans mémoire d’un état antérieur : ses sorties dépendent des entrées présentes. Pour le lire, nommez les signaux intermédiaires puis progressez des entrées vers les sorties. Les circuits présentés ici sont des modèles logiques, sans étude détaillée des tensions électroniques.
Un fil transporte un signal logique ; ce n’est pas lui qui applique une opération. Dans un schéma, les portes ou les blocs nommés indiquent les calculs. Pour vérifier le circuit, associez à chaque signal intermédiaire un nom et une valeur avant d’examiner la sortie finale.
Un bit de somme et un bit de retenue
Additionner deux bits A et B produit parfois deux bits de résultat. Si A et B valent 1, leur somme vaut 2, écrit 10 en binaire. Le bit de somme S est donc A XOR B, et la retenue R est A AND B. Ce montage est nommé demi-additionneur parce qu’il ne reçoit pas de retenue venant d’une colonne précédente. La relation A + B = S + 2R permet de vérifier chaque ligne de sa table : S représente les unités de la colonne, R celles de la suivante.
La retenue vaut deux unités de la colonne actuelle. Lire les sorties comme deux unités de même poids ferait confondre les valeurs deux et un. Dans le nombre binaire formé, la retenue apparaît à gauche de la somme : le motif est RS, pas SR.
Ajouter la retenue entrante
Pour additionner plusieurs colonnes, chaque colonne doit aussi recevoir une retenue entrante C. On calcule d’abord un signal intermédiaire X = A XOR B, puis S = X XOR C. Une retenue sortante apparaît si au moins deux des trois entrées valent 1. On peut l’exprimer par (A AND B) OR (C AND X). Cette construction forme un additionneur complet. Avec A = B = C = 1, la somme locale vaut 3 : S et la retenue sortante valent tous deux 1. Oublier la retenue entrante fausserait les additions comportant plusieurs colonnes actives.
L’expression de la retenue peut aussi s’écrire (A AND B) OR (A AND C) OR (B AND C). Elle exprime directement « au moins deux entrées actives ». La comparaison des huit lignes permet de vérifier son équivalence avec la construction utilisant X.
Relier les colonnes dans le bon ordre
Pour additionner deux nombres binaires, on commence par leur colonne de poids faible, à droite. La retenue sortante alimente la colonne immédiatement à gauche. On poursuit jusqu’au poids le plus fort, où une retenue supplémentaire peut agrandir le résultat. Cette dépendance explique pourquoi une addition n’est pas un ensemble de calculs indépendants sur les colonnes. Le programme de Première demande de relier logique et addition sur des exemples directs ; concevoir des circuits électroniques optimisés constitue un approfondissement, pas un prérequis pour comprendre les principes présentés ici.
Les retenues se propagent depuis les faibles poids vers les forts. Le résultat s’écrit pourtant dans l’ordre habituel, poids fort à gauche. Pour ne pas inverser les colonnes, tracez une ligne de retenues au-dessus de l’addition et notez chaque nouvelle retenue immédiatement.
Vérifier l’additionneur complet sans électronique
Trois entrées binaires produisent des sommes locales de zéro, un, deux ou trois. Pour zéro entrée active, les sorties sont R égal à zéro et S égal à zéro. Pour une entrée active, elles valent zéro et un ; pour deux, un et zéro ; pour trois, un et un. La relation A + B + C == S + 2 * R résume ces quatre situations.
Le bit S indique donc la parité du nombre d’entrées actives. La retenue R indique si ce nombre atteint au moins deux. Cette interprétation donne une vérification indépendante des formules de portes et permet de diagnostiquer une sortie incohérente.
Suivre une addition qui propage plusieurs retenues
Pour 1011 + 0110, on commence à droite. La première colonne additionne un et zéro : somme un, retenue zéro. La suivante additionne un et un : somme zéro, retenue un. La troisième additionne zéro, un et cette retenue : somme zéro, retenue un. La dernière additionne un, zéro et un : somme zéro, retenue un.
Le résultat est 10001, soit dix-sept. La retenue finale crée une cinquième position. Vérifier onze plus six en décimal confirme le résultat. Si l’on ignore la retenue entrante à la troisième colonne, les premières colonnes peuvent paraître correctes alors que la suite de l’addition est déjà fausse.
À vous de faire varier les choses
Pilotez un additionneur complet
Activez les trois entrées. Retrouvez la somme totale, puis expliquez les signaux intermédiaires et les deux sorties.
Lire le résultat de l’expérience initiale
1 + 1 + 0 = 2 = 10₂
La somme est S = 0 et la retenue sortante vaut 1. Vérification : S + 2R = 2.
| Signal | Calcul | Valeur |
|---|---|---|
| X | A XOR B | 0 |
| S | X XOR C | 0 |
| R | (A AND B) OR (C AND X) | 1 |
Les deux sorties représentent une valeur sur deux positions : la retenue n’est pas une erreur, elle fait partie du résultat.
De la compréhension à l’autonomie
À vous de résoudre
Cherchez d’abord par vous-même. Vérifiez les résultats demandés, utilisez les indices si nécessaire, puis comparez votre méthode à la correction.
Reconstituer un demi-additionneur
Pour les entrées A = 1 et B = 1, donnez S et R, puis vérifiez A + B = S + 2R.
Indice 1
XOR refuse le cas où les deux entrées valent 1.
Indice 2
AND l’accepte.
Comprendre la correction
La somme S vaut 0 et la retenue R vaut 1. L’identité donne 1 + 1 = 0 + 2 × 1 = 2. Les deux sorties ne sont donc pas contradictoires : ensemble, elles représentent le nombre binaire 10, soit deux unités de la colonne considérée.
Tenir compte de la retenue
Un additionneur complet reçoit A = 1, B = 0 et C = 1. Calculez X, S et la retenue sortante.
Indice 1
Commencez par X = A XOR B.
Indice 2
La somme totale des trois entrées vaut 2.
Comprendre la correction
X vaut 1. S = X XOR C vaut donc 0. La retenue (A AND B) OR (C AND X) vaut 0 OR 1, soit 1. Le résultat local est 10 en binaire. La retenue entrante a le même poids que A et B dans cette colonne.
Corriger une porte
Un élève remplace XOR par OR pour produire la somme d’un demi-additionneur, tout en gardant AND pour la retenue. Quelle entrée révèle le défaut ?
Indice 1
Les tables de OR et XOR diffèrent sur une seule combinaison.
Indice 2
Essayez les deux entrées à 1.
Comprendre la correction
Avec A = B = 1, la mauvaise somme vaut 1 et la retenue vaut 1, soit le nombre binaire 11, égal à 3. Or 1 + 1 vaut 2. Le cas révèle immédiatement que OR ne convient pas pour le bit de somme ; XOR fournit bien zéro avec une retenue de un.
Suivre plusieurs colonnes
Calculez 0111₂ + 0011₂ en indiquant les retenues de droite à gauche.
Indice 1
Dans la première colonne, 1 + 1 donne une retenue.
Indice 2
La deuxième reçoit donc trois bits à additionner.
Comprendre la correction
À droite, 1 + 1 donne somme 0 et retenue 1. Ensuite 1 + 1 + 1 donne somme 1 et retenue 1. La troisième colonne donne 1 + 0 + 1 : somme 0, retenue 1. La dernière donne 0 + 0 + 1 : somme 1. Le résultat est 1010, soit 10.
Une autre formule de retenue
On propose R égal à (A AND B) OR (A AND C) OR (B AND C). Expliquez pourquoi cette formule détecte au moins deux entrées actives. Donnez S et R pour A vrai, B faux, C vrai, puis vérifiez la somme numérique.
Indice 1
Chaque terme reconnaît une paire active.
Indice 2
Deux entrées actives produisent la valeur binaire dix.
Comprendre la correction
Si deux entrées sont actives, le terme correspondant à leur paire vaut un. Si moins de deux sont actives, tous les termes valent zéro. Pour les entrées données, seule la paire A,C est active : R vaut un et S zéro. La relation zéro plus deux fois un redonne deux.
Une propagation complète
Additionnez 1011 et 0110. Donnez les retenues sortantes colonne par colonne depuis la droite, puis le résultat complet et sa valeur décimale. Que conserverait un registre limité à quatre bits ?
Indice 1
La troisième colonne reçoit une retenue.
Indice 2
La dernière retenue forme une position supplémentaire.
Comprendre la correction
Les retenues sortantes sont zéro, un, un et un. Les bits de somme écrits de droite à gauche sont un, zéro, zéro et zéro ; la retenue finale donne 10001, soit dix-sept. Un registre ne conservant que quatre bits garderait 0001, soit un, en perdant le poids seize.
Diagnostiquer une sortie impossible
Pour A, B et C tous égaux à un, un circuit annonce S égal à zéro et R égal à un. Vérifiez la valeur reconstruite et l’erreur. Quel signal faut-il corriger si l’on conserve la retenue annoncée ? Comparez avec un demi-additionneur.
Indice 1
Les trois entrées totalisent trois unités.
Indice 2
La sortie annoncée reconstruit seulement deux unités.
Comprendre la correction
Le circuit annonce zéro plus deux, soit deux, au lieu de trois. Il faut corriger S à un ; R reste un. Un demi-additionneur ne prendrait en compte que A et B et fournirait justement S zéro, R un. Le défaut peut donc venir de l’oubli de la retenue entrante C.
Les erreurs qui méritent un détour
- Confondre la retenue avec un bit de même poids
- La retenue sortante appartient à la colonne suivante, dont le poids est deux fois plus grand.
- Calculer les colonnes de gauche à droite sans information
- La retenue dépend de la colonne précédente à droite : suivez le sens de propagation.
La fiche à garder
L’essentiel à retenir
- Un circuit combinatoire réalise une fonction des entrées.
- Le demi-additionneur combine
XOR pour la somme et ANDpour la retenue. - L’additionneur complet tient aussi compte de la retenue entrante.
Cette notion au bac
Retrouvez ces idées dans un sujet complet, avec des indices, une correction expliquée et des ateliers.
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Le prochain pas
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Ce chapitre s’appuie sur le programme officiel de Première (PDF, nouvel onglet). Les explications et exercices sont proposés pour l’apprentissage.