Nombres flottants et erreurs d’arrondi

Après la virgule, les poids continuent

En décimal, les chiffres après la virgule portent les poids un dixième, un centième, etc. En binaire, les poids deviennent 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, et ainsi de suite. Le nombre 0,101 en base deux vaut donc 1/2 + 1/8 = 0,625 en décimal. Un nombre comme 0,25 possède une écriture binaire courte : 0,01. La présence d’une virgule ne signifie donc pas automatiquement qu’une approximation est nécessaire. Tout dépend de la possibilité de représenter la valeur avec un nombre fini de positions dans la base choisie.

Chaque position ajoutée après la virgule divise le poids précédent par deux. Le quatrième bit pèse un seizième et le cinquième un trente-deuxième. Ajouter un zéro final ne change pas la valeur ; ajouter un un ajoute exactement le poids de cette nouvelle position.

Une écriture finie dans une base peut être infinie dans une autre

Le nombre un tiers possède une écriture décimale périodique. De façon analogue, un dixième ne possède pas d’écriture binaire finie. Pour produire ses bits fractionnaires, on multiplie la partie fractionnaire par deux, on retient la partie entière obtenue, puis on recommence avec le reste. Pour 0,1, ce processus fait apparaître une répétition. Une mémoire finie ne peut pas conserver tous les bits : elle retient une représentation proche selon une règle d’arrondi. Le nombre mémorisé et le nombre mathématique visé ne sont alors pas strictement identiques.

Pour une fraction réduite, une écriture binaire finie est possible lorsque le dénominateur est une puissance de deux. Trois huitièmes convient ; un dixième conserve un facteur cinq au dénominateur et ne convient pas. Ce critère explique les exemples sans imposer de mémoriser leurs suites infinies.

Un flottant conserve une précision limitée

L’idée d’un flottant ressemble à une notation scientifique : une partie significative est combinée à une échelle. Cela permet de représenter des valeurs très petites ou très grandes, avec un nombre limité de chiffres significatifs. Le détail complet de la norme IEEE 754 n’est pas exigé en Première. Il faut surtout comprendre que les valeurs disponibles sont espacées et que l’écart dépend de leur grandeur. Ajouter une toute petite quantité à un très grand nombre peut ainsi ne pas modifier sa représentation, si cette quantité est plus petite que la précision disponible.

L’atelier utilise une grille fixe de valeurs fractionnaires : avec quatre bits, les valeurs disponibles sont des multiples de un seizième. Ce modèle aide à comprendre la perte de précision, mais il ne simule pas la variation d’échelle d’un véritable flottant.

Comparer selon la précision utile

Pour un résultat approché, tester une égalité stricte peut rejeter deux valeurs suffisamment proches pour le problème. On peut examiner abs(a - b) < tolerance, en choisissant une tolérance justifiée par l’application. Une tolérance relative peut aussi être utile lorsque les ordres de grandeur varient beaucoup ; math.isclose propose ces paramètres. Il ne faut pas remplacer toute comparaison par une marge arbitraire : les entiers exacts se comparent normalement. Pour l’argent, compter des centimes entiers évite certaines difficultés lorsque les montants et opérations s’y prêtent.

a = 0.1 + 0.2
b = 0.3
print(a == b)
print(abs(a - b) < 1e-12)

La tolérance possède une unité et un sens. Pour une longueur en mètres, une marge de 0,001 représente un millimètre. Si les données sont exprimées en kilomètres, garder le même nombre changerait fortement la précision. Il faut convertir la marge avec les données.

Tronquer et arrondir répondent à deux règles

Avec quatre bits fractionnaires, un dixième se trouve entre un seizième, soit 0,0625, et deux seizièmes, soit 0,125. La troncature garde la valeur inférieure 0,0625. L’arrondi au plus proche choisirait 0,125, dont l’écart 0,025 est plus petit que 0,0375. Les deux méthodes utilisent la même largeur, mais ne produisent pas la même approximation.

Pour une fraction positive, l’erreur d’une troncature après n bits est strictement inférieure au poids 2 ** (-n). Cette borne provient des bits supprimés. Augmenter n resserre la borne, sans rendre nécessairement exacte une fraction dont l’écriture binaire est infinie.

Séparer affichage, stockage et décision

Un affichage limité à deux décimales peut montrer 0,30 alors que la valeur stockée conserve une approximation plus détaillée. Modifier l’affichage n’améliore pas le calcul effectué. La décision doit utiliser un critère adapté : comparaison exacte pour un nombre d’objets, écart toléré pour une mesure approchée.

Pour additionner 125, 250 et 75 centimes, les entiers donnent exactement 450 centimes. Si l’on applique ensuite un pourcentage, il faut encore définir comment arrondir au centime. Choisir une unité entière résout certaines erreurs de représentation ; cela ne décide pas les règles de calcul du problème.

De la compréhension à l’autonomie

À vous de résoudre

Cherchez d’abord par vous-même. Vérifiez les résultats demandés, utilisez les indices si nécessaire, puis comparez votre méthode à la correction.

Les erreurs qui méritent un détour

Croire que tous les décimaux sont approchés

Des fractions comme 1/2, 1/4 et 3/8 possèdent une écriture binaire finie.

Confondre affichage arrondi et valeur mémorisée

Afficher moins de chiffres ne modifie pas nécessairement la valeur sur laquelle le programme calcule.

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