Binaire, décimal et hexadécimal : changer de base

La position donne le poids du chiffre

En base dix, 347 signifie 3 × 100 + 4 × 10 + 7 × 1. Les poids sont les puissances de dix. En base deux, chaque position porte une puissance de deux, en commençant par 1 à droite : 1, 2, 4, 8, 16, etc. Ainsi 1101 en base deux représente 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1, soit 13 en décimal. La base impose aussi les chiffres autorisés : seulement 0 et 1 en binaire, de 0 à 9 en décimal.

Plus généralement, une base entière b supérieure ou égale à 2 utilise b chiffres et des poids 1, b, b², b³, etc. En base trois, les chiffres autorisés sont 0, 1 et 2 : 102₃ vaut 1 × 9 + 0 × 3 + 2 = 11 en décimal. Les méthodes se généralisent en divisant par la base choisie ; les bases 2, 10 et 16 restent les principales travaillées ici.

Un zéro intérieur doit être conservé : il indique qu’un poids n’est pas utilisé. Dans mille un en binaire, les deux zéros empêchent le dernier un de prendre le poids deux ou quatre. Supprimer des zéros à gauche ne change pas la valeur, mais supprimer ceux du milieu la change généralement.

Passer du décimal à une autre base

Pour convertir un entier positif en base deux, on peut chercher les puissances de deux qui le composent. Pour 26, on prend 16, puis 8, puis 2 : les coefficients des poids 16, 8, 4, 2 et 1 sont 1, 1, 0, 1 et 0. On obtient 11010. Une autre méthode effectue des divisions entières successives par deux et lit les restes dans l’ordre inverse. L’inversion est essentielle : le premier reste correspond au poids le plus faible, donc au chiffre situé le plus à droite.

Pour zéro, l’algorithme de divisions peut ne produire aucun reste si la boucle exige un nombre strictement positif. Il faut prévoir explicitement l’écriture zéro. Pour les autres entiers, chaque quotient diminue jusqu’à zéro, ce qui explique la terminaison des divisions successives.

L’hexadécimal abrège les longues suites de bits

En base seize, les chiffres supplémentaires A, B, C, D, E et F représentent les valeurs 10 à 15. Par exemple 2F vaut 2 × 16 + 15, soit 47. Puisque 16 vaut 2 puissance 4, chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits. On peut donc regrouper une écriture binaire par paquets de quatre en partant de la droite. Des zéros ajoutés à gauche complètent le premier groupe sans modifier la valeur. Cette correspondance explique l’usage fréquent de l’hexadécimal pour représenter des octets.

Un groupe hexadécimal interne doit garder quatre bits lors de la conversion inverse. Ainsi A3 devient 1010 0011, et non 1010 11. Sans les deux zéros du second groupe, les poids changeraient. Le remplissage concerne chaque chiffre, pas seulement la largeur finale.

Vérifier sans mélanger les écritures

Une réponse de conversion doit indiquer la base pour rester interprétable : 10 signifie dix en base dix, mais deux en base deux. On peut employer des indices ou annoncer la base dans la phrase. Python reconnaît les préfixes 0b pour le binaire et 0x pour l’hexadécimal ; bin et hex produisent des chaînes représentant un entier. Ces outils sont pratiques pour vérifier un calcul, mais une justification scolaire doit montrer les poids ou les divisions. Reconvertir le résultat vers le décimal constitue une vérification indépendante particulièrement simple.

nombre = 26
print(bin(nombre))
print(hex(nombre))
print(int("11010", 2))

Une base fait partie de la donnée lorsqu’on reçoit une chaîne. Le texte "10" ne suffit pas à savoir si le nombre vaut deux, dix ou seize. Les préfixes et les annotations de base servent à lever cette ambiguïté dans les programmes comme dans les copies.

Une conversion entière avec ses deux vérifications

Pour convertir 83 en binaire par divisions, on obtient les couples quotient-reste suivants : 41 et 1 ; 20 et 1 ; 10 et 0 ; 5 et 0 ; 2 et 1 ; 1 et 0 ; 0 et 1. Les restes lus du dernier au premier donnent 1010011. La somme des poids actifs vaut 64 + 16 + 2 + 1, soit 83.

En complétant à gauche, on obtient 0101 0011, donc 53 en hexadécimal. La vérification 5 * 16 + 3 redonne aussi 83. Les deux chemins permettent de détecter une inversion des restes ou un mauvais regroupement des bits.

Anticiper les changements de largeur

Les entiers de zéro à quinze tiennent sur quatre bits. Quinze s’écrit 1111, puis seize s’écrit 10000 : augmenter d’une unité peut donc changer plusieurs positions et demander une nouvelle case. En hexadécimal, le passage correspondant va de F à 10.

Plus généralement, une nouvelle position apparaît à chaque puissance de la base. Trente et un tient sur cinq bits, trente-deux en demande six. Pour prévoir la largeur, cherchez la puissance immédiatement supérieure à la valeur. La taille de son écriture décimale ne permet pas de déduire directement sa taille binaire.

De la compréhension à l’autonomie

À vous de résoudre

Cherchez d’abord par vous-même. Vérifiez les résultats demandés, utilisez les indices si nécessaire, puis comparez votre méthode à la correction.

Les erreurs qui méritent un détour

Lire les restes dans l’ordre des divisions

Le premier reste est le chiffre de poids faible. Il apparaît donc à droite dans l’écriture finale.

Grouper les bits depuis la gauche

Pour l’hexadécimal, partez de la droite et complétez éventuellement à gauche par des zéros.

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