Entiers relatifs et complément à deux

Fixer la largeur avant d’interpréter

Sur n bits en complément à deux, le bit de gauche porte le poids négatif -2 puissance n-1 ; les autres gardent leurs poids positifs habituels. Sur quatre bits, 1101 vaut donc -8 + 4 + 0 + 1 = -3. La largeur fait partie de l’information : 1101 sur quatre bits et 00001101 sur huit bits ne désignent pas le même entier signé. On ne peut donc pas ajouter arbitrairement des zéros à gauche d’un entier négatif en prétendant conserver sa valeur.

Le bit de gauche n’est pas un signe indépendant posé devant une valeur absolue. Il contribue lui-même au calcul avec un poids négatif. Sur quatre bits, 1001 vaut moins huit plus un, donc moins sept, et non moins un.

Une plage asymétrique

Sur n bits, les entiers représentables vont de -2 puissance n-1 à 2 puissance n-1 moins 1. Sur huit bits, l’intervalle est [-128 ; 127]. Il contient toujours 256 valeurs, comme l’interprétation non signée, mais elles sont réparties autour de zéro. Le côté négatif possède une valeur supplémentaire, car zéro appartient au côté dont le bit de signe vaut 0. Le motif 10000000 représente -128 ; aucun motif sur huit bits ne représente +128 dans cette convention.

La largeur et la convention doivent toujours être annoncées ensemble. Huit bits fournissent le même nombre de configurations dans les deux interprétations. Le complément à deux réaffecte une partie des motifs aux négatifs ; il n’ajoute pas de cases de stockage.

Construire un entier négatif

Pour représenter -5 sur huit bits, on part de +5, écrit 00000101. On inverse chaque bit pour obtenir 11111010, puis on ajoute 1 : 11111011. Une méthode équivalente calcule 256 - 5 = 251 puis écrit 251 sur huit bits sans signe. Pour décoder un motif commençant par 1, on peut calculer sa valeur non signée puis soustraire 256. Ces méthodes se vérifient entre elles, mais supposent toujours que le nombre recherché appartient à l’intervalle représentable.

Inverser les bits sans ajouter un produit une valeur décalée. Pour moins cinq sur huit bits, l’inversion seule représente moins six. L’ajout d’une unité est donc une étape essentielle de la convention, pas une astuce facultative de calcul.

Additionner et reconnaître les limites

L’addition des motifs binaires fonctionne en conservant les n bits de droite, à condition que le résultat mathématique reste dans l’intervalle signé. Sur quatre bits, 3 + 4 donne 0111, soit 7. Mais 7 + 1 donne 1000, interprété comme -8 : le résultat exact 8 ne tient pas. Une retenue sortante n’est pas le seul indicateur pertinent du dépassement signé. Ajouter deux nombres positifs et obtenir un motif négatif révèle ici un débordement. Pour élargir un entier signé, on répète son bit de signe à gauche.

Une retenue peut sortir alors que le résultat signé est correct. Sur quatre bits, moins un plus un produit zéro avec une retenue supprimée. À l’inverse, sept plus un déborde sans retenue sortant de la cinquième position. Il faut examiner l’intervalle signé.

Calculer avec les deux interprétations

Sur six bits, le motif 110101 vaut 53 sans signe : 32 + 16 + 4 + 1. En complément à deux, on soustrait 64, ce qui donne moins onze. La somme des poids signés donne la même réponse : moins 32 + 16 + 4 + 1. Cette double lecture vérifie le décodage.

Pour coder moins onze sur six bits, on calcule 64 moins 11, soit 53, puis on écrit cette valeur sur six bits. La méthode n’est applicable qu’après avoir vérifié l’intervalle : six bits signés représentent les entiers de moins trente-deux à trente et un.

Élargir avant de calculer si nécessaire

On souhaite additionner sept et trois, tous deux stockés sur quatre bits signés. La somme exacte dix dépasse le maximum sept. En conservant quatre bits, le motif 1010 serait interprété comme moins six. Si l’on étend d’abord les deux nombres à cinq bits avec des zéros à gauche, le résultat 01010 représente correctement dix.

Pour une valeur négative, l’extension répète des uns. Le motif 1101, égal à moins trois sur quatre bits, devient 11101 sur cinq bits. Cette extension conserve la valeur ; elle ne consiste pas à changer arbitrairement le signe. La largeur choisie pour les opérations intermédiaires détermine si le résultat exact reste représentable.

De la compréhension à l’autonomie

À vous de résoudre

Cherchez d’abord par vous-même. Vérifiez les résultats demandés, utilisez les indices si nécessaire, puis comparez votre méthode à la correction.

Les erreurs qui méritent un détour

Traiter le premier bit comme un simple signe indépendant

En complément à deux, il contribue avec un poids négatif ; ce n’est pas une écriture signe puis valeur absolue.

Oublier de vérifier l’intervalle

Un calcul de codage n’autorise pas une valeur qui dépasse les capacités de la largeur choisie.

Le prochain pas

• Nombres flottants et erreurs d’arrondi

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Ce chapitre s’appuie sur le programme officiel de Première (PDF, nouvel onglet). Les explications et exercices sont proposés pour l’apprentissage.